BK - Đại Cương Confessions. November 11, 2019 ·. Giải thích bản chất của đạo hàm, tích phân và vi phân. Mở đầu. Bài này mình xin được giải thích bản chất của 3 khái niệm quan trọng bậc nhất trong đại số giải tích là đạo hàm, tích phân và vi phân để chỉ ra chúng có ý T = |AD|/ vận tốc chạy + |DB|/ vận tốc bơi. |AD| = 5 − x và |DB| 2 = x^2 + 7^2. Do ta không biết vận tốc của con chó nên gọi là k (m/s) nhé. Vì vậy con chó có thể chạy 7k m/s ( nó chạy gấp 7 lần nó bơi ) Nhìn trên hình kết hợp công thức ta được. Để tìm thời gian tối ưu hóa Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao. Xem thêm các sách tham khảo liên quan: Sách giáo khoa đại số và giải tích 11. Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Sách giáo khoa hình học 11. Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11. Giải Toán Lớp 11. Quãng đường chiến sĩ phải bơi là AD, quãng đường chiến sĩ phải chạy bộ là DC. liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị? Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R -Hiểu được ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai, cách tính gia tốc của một chuyển động bằng đạo hàm cấp hai của quãng đường đi của nó.-Nắm được khái niệm đạo hàm cấp n của một hàm số. +Về kĩ năng : Tính đạo hàm cấp hai trở lên của một hàm số. Msinh hoạt đầu. Bài này mình xin được phân tích và lý giải bản chất của 3 định nghĩa đặc biệt quan trọng bậc nhất trong đại số giải tích là đạo hàm, tích phân cùng vi phân nhằm chỉ ra bọn chúng tất cả ý nghĩa sâu sắc như thế nào.Bạn vẫn xem: Dy/dx là gì. Bài viết này sẽ không đi sâu vào chứng minh FgODJSo. BÀI TOÁN VẬN TỐC QUÃNG ĐƯỜNG 1. VẤN ĐỀ CỐT LÕI - Giả sử một chuyển động phụ thuộc theo thời gian với quãng đường \\displaystyle S = St\ thì vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \\displaystyle t\ là \\displaystyle vt = S't\ và gia tốc \\displaystyle at = v't\ - Do đó, trong trường hợp biết gia tốc \\displaystyle at\, ta có thể tìm ngược được \\displaystyle vt = \int {atdt = ft + C} \ - Khi đó, giả sử ta muốn tính quãng đường đi được từ thời điểm \\displaystyle {t_1}\ đến thời điểm \\displaystyle {t_2}\ thì \\displaystyle \Delta S = S{t_2} - S{t_1} = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {vtdt} \ - Vướng mắc thường gặp ++ Xác định thời điểm ban đầu \\displaystyle t = 0\ Mỗi chuyển động ta nên chọn một thời điểm ban đầu phù hợp cho mục đích tính toán. Thời điểm ban đầu thường chọn khi chuyển động bắt đầu một hành trình mới. Ví dụ 1 Một vật đang chuyển động đều với vận tốc \\displaystyle 30m/s\ thì chuyện động chậm dần đều với gia tốc \\displaystyle - 70m/{s^2}\. Thì ta chọn thời điểm ban đầu là lúc bắt đầu chuyển động chậm dần. Ví dụ 2 Vật A chuyển động đều từ D với vận tốc \\displaystyle 30m/s\ được \\displaystyle 10s\ thì chuyển động chậm dần với gia tốc \\displaystyle - 70m/{s^2}\. Sau khi vật A khởi hành được \\displaystyle 8s\ thì vật B bắt đầu xuất phát cùng chiều từ nhanh dần đều với gia tốc \\displaystyle 50m/{s^2}\. Hỏi sau bao lâu hai vật gặp nhau? Khi gặp nhau thì vật A đã dừng lại chưa? Thì ta chọn thời điểm ban đầu cho A là lúc bắt đầu chuyển động chậm dần. Thời điểm ban đầu cho B là lúc B khởi hành. Hai thời điểm khởi đầu này chênh nhau \\displaystyle 2s\. ++ Xác định \\displaystyle C\ trong \\displaystyle vt\ Thường dựa vào vận tốc tại thời điểm \\displaystyle t = 0\ khởi hành, ta có \\displaystyle C = v0 - f0\ ++ Các thời điểm đặc biệt Dừng hẳn \\displaystyle \Leftrightarrow vt = 0 \Leftrightarrow t = ...\ ; \\displaystyle vt = \max vt \Leftrightarrow t = ...\ ,…. 2. VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 1 Một vật đang chuyển động đều với vận tốc \\displaystyle 30m/s\ thì chuyện động chậm dần đều với gia tốc \\displaystyle - 70m/{s^2}\. Hỏi từ lúc giảm tốc đến khi dừng hẳn thì vật di chuyển được quãng đường bao xa?Hướng dẫn Gọi thời điểm ban đầu \\displaystyle t = 0\ là khi vật bắt dầu chuyển động chậm dần, khi đó vật chuyển động với vận tốc \\displaystyle vt = \int { - 70dt = - 70t + C} \. Khi \\displaystyle t = 0\ thì vận tốc đang ở \\displaystyle 30m/s\ nên \\displaystyle 30 = v0 = - 70 \times 0 + C\ \\displaystyle \Rightarrow C = 30\. Vậy \\displaystyle vt = - 70t + 30\ Vật dừng hẳn khi \\displaystyle vt = 0 \Leftrightarrow - 70t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{7}\. Vậy quãng đường vật chuyển động được từ khi bắt đầu giảm tốc đến khi dừng hẳn là \\displaystyle \Delta S = \int\limits_0^{\frac{3}{7}} {\left { - 70t + 30} \rightdt = \frac{{45}}{7} = \m. Ví dụ 2 Vật A chuyển động đều từ D với vận tốc \\displaystyle 30m/s\ được \\displaystyle 10s\ thì chuyển động chậm dần với gia tốc \\displaystyle - 10m/{s^2}\. Sau khi vật A khởi hành được \\displaystyle 8s\ thì vật B bắt đầu xuất phát cùng chiều từ D nhanh dần đều với gia tốc \\displaystyle 50m/{s^2}\. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc B khởi hành hai vật gặp nhau? Khi gặp nhau thì vật A đã dừng lại chưa? Hướng dẫn Gọi \\displaystyle t = 0\ là khi vật B khởi hành và hai vật gặp nhau sau \\displaystyle {t_0} > 0\. Khi đó vật A chuyển động đều trong 2s và chậm dần đều trong \\displaystyle \left {{t_0} - 2} \right\;s\ nếu \\displaystyle {t_0} > 2\ - Xét vật A Vật A chuyển động thành 2 chặng chặng 1 là chuyển động đều với vận tốc \\displaystyle 30m/s\ trong 10s, quãng đường chặng này là \\displaystyle \int\limits_0^{10} {30dt} = 300m\. Chặng thứ 2 là chuyển động chậm dần đều với thời gian \\displaystyle {t_0} - 2\ cho đến khi gặp B, quãng đường mà A di chuyển được ở chặng này là \\displaystyle \int\limits_0^{{t_0} - 2} {\left { - 10t + 30} \rightdt = - 5{{\left {{t_0} - 2} \right}^2} + 30\left {{t_0} - 2} \right} \. Vậy tổng quãng đường mà vật A đi được từ D đến khi gặp nhau là \\displaystyle - 5{\left {{t_0} - 2} \right^2} + 30\left {{t_0} - 2} \right + 300\. - Xét vật B Vì vật B chuyển động nhanh dần với gia tốc \\displaystyle 50m/{s^2}\ nên vận tốc của B là \\displaystyle vt = 50t + C\. Vì lúc bắt đầu khởi hành B có vận tốc bằng 0 nên \\displaystyle C = 0\. Vậy từ D đến khi gặp A, vật B đi được \\displaystyle \int\limits_0^{{t_0}} {50tdt} = 25t_0^2\.Hai vật gặp nhau khi quảng đường đi được như nhau Trường hợp 1 Gặp nhau khi \\displaystyle {t_0} \le 2\, lúc này vât A vẫn đang chuyển động đều, tương đương với phương trình \\displaystyle 25t_0^2 = 30 \times 8 + \int\limits_0^{{t_0}} {30dt} \Leftrightarrow 25t_0^2 - 30{t_0} - 240 = 0\ \\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_0} = > 2\\{t_0} = - 2\, ta có phương trình \\displaystyle 25t_0^2 = - 5{{t_0} - 2^2} + 30{t_0} - 2 + 300\ \\displaystyle \Leftrightarrow x = = \frac{{11}}{3}\. Vậy hai vật thể gặp nhau sau s kể từ khi vật B khởi hành. - Vật A dừng lại khi \\displaystyle vt = 0 \Leftrightarrow - 10t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = 3\s kể từ khi bắt A bắt đầu chuyển động chậm dần đều, tương đương với 5s kể từ khi vật B chuyển động. Vậy khi hai vật gặp nhau, vật A vẫn chưa dừng lại do \\displaystyle 5 > Ví dụ 3 Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \\displaystyle {v_1}t = 7t\;m/s\. Đi được 5s người lái xe gặp chướng ngại vật nên phải phanh gấp cho xe chạy chậm dần đều với gia tốc \\displaystyle - 70\;m/{s^2}\. Tính quãng đường đi được của o tô từ lúc chuyển bánh đến khi dừng hẳn. Hướng dẫn Chiếc ô tô thực hiện hai chặng Chặng 1 Chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \\displaystyle {v_1}t = 7t\;m/s\ trong 5s, do đó quãng đường chặng 1 của ô tô là \\displaystyle {S_1} = \int\limits_0^5 {7tdt} = m. Lúc này, ô tô đang đạt vận tốc \\displaystyle {v_1}5 = 7 \times 5 = 35\ m/s. Chặng 2 Ô tô chuyển động với gia tốc \\displaystyle - 70\;m/{s^2}\ nên phương trình vận tốc của xe là \\displaystyle {v_2}t = \int { - 70dt = - 70t + C} \. Khi \\displaystyle t = 0\ của chặng 2 thì xe có vận tốc \\displaystyle {v_1}5 = 35\ nên \\displaystyle {v_2}0 = 35 \Leftrightarrow C = 35\. Vậy \\displaystyle {v_2}t = - 70t + 35\. Ô tô dừng hẳn khi \\displaystyle {v_2}t = 0 \Leftrightarrow t = Vậy quãng đường ô tô di chuyển trong chặng 2 là \\displaystyle {S_2} = \int\limits_0^{ {\left { - 70t + 35} \rightdt} = \frac{{35}}{4} = mVậy tổng quãng đường ô tô đi được từ khi khởi hành đến khi dừng hẳn là \\displaystyle S = {S_1} + {S_2} = + = m Ví dụ 4 Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian \\displaystyle vt = 3t + 2\ m/s. Tại thời điểm \\displaystyle t = 2\ s vật đã đi được quãng đường là \\displaystyle 10\ m. Hỏi tại thời điểm \\displaystyle t = 30\ s thì vật đã đi được quãng đường bao nhiêu? Hướng dẫn Cách 1 Quãng đường mà vật đã đi được tại thời điểm \\displaystyle t = 30\ bằng tổng quãng đường vật đã đi được tài thời điểm \\displaystyle t = 2\ với quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian \\displaystyle t = 2\ đến \\displaystyle t = 30\. Mà quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian \\displaystyle t = 2\ đến \\displaystyle t = 30\ được tính bởi \\displaystyle \int\limits_2^{30} {vtdt} = \int\limits_2^{30} {\left {3t + 2} \rightdt = 1400} \ m. Vậy tại thời điểm \\displaystyle t = 30\s vật đã đi được quãng đường 10 + 1400 = 1410 m. Cách 2 Phương trình quãng đường là \\displaystyle St = \int {vtdt = \int {3t + 2dt = \frac{3}{2}{t^2} + 2t + C} } \. Do \\displaystyle t = 2,S = 10 \Rightarrow C = 0\. Vậy \\displaystyle vt = \frac{3}{2}{t^2} + 2t\ . Tại thời điểm \\displaystyle t = 30\ có \\displaystyle S30 = 1410\ m Ví dụ 5 Một vật đang chuyển động với vận tốc \\displaystyle 10\m/s thì tăng tốc với gia tốc \\displaystyle at = {t^2} + t\ \\displaystyle m/{s^2}\. Hỏi sau \\displaystyle 10\s kể từ thời điểm tăng tốc, vật đã di chuyển được quãng đường bao nhiêu? Hướng dẫn Ta có \\displaystyle vt = \int {{t^2} + tdt = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{{t^2}}}{2} + C} \. Khi \\displaystyle t = 0\ thì \\displaystyle v = 10\ nên \\displaystyle C = 10\. Vậy \\displaystyle vt = \frac{1}{3}{t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 10\ . Quãng đường đi được của vật thể sau 10 s từ khi tăng tốc là \\displaystyle S = \int\limits_0^{10} {\left {\frac{1}{3}{t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 10} \rightdt} = 1100\ m Ví dụ 6 Một vật đang chuyển động với vận tốc \\displaystyle 10\ m/s thì giảm tốc với gia tốc \\displaystyle at = 4 - t\;m/{s^2}\. Tính quãng vật đi được thi khi thay đổi chuyển động đến khi vật tốc đạt giá trị lớn nhất?Hướng dẫn Vận tốc của chuyển động là \\displaystyle vt = \int {4 - tdt = 4t - \frac{{{t^2}}}{2} + C} \. Do khi \\displaystyle t = 0\ thì \\displaystyle v = 10\ nên \\displaystyle C = 10\. Vậy \\displaystyle vt = 4t - \frac{{{t^2}}}{2} + 10\ Khi vấn tốc đạt giá trị lớn nhất, \\displaystyle vt\ max \\displaystyle \Leftrightarrow t = 4\ . Vậy quãng đường cần tính là \\displaystyle S = \int\limits_0^4 {\left {4t - \frac{{{t^2}}}{2} + 10} \rightdt} = m Bài viết gợi ý Một hôm, có một em học sinh chặn tôi lại và bất chợt hỏi “Thưa Thầy, rốt cuộc thì đạo hàm là gì ạ?” Tôi cảm thấy hơi lúng túng bèn trả lời em học sinh đó một cách vô thưởng vô phạt “À, trong tiếng hán thì Đạo có nghĩa là con đường, thế nên đạo hàm là khái niệm ám chỉ con đường vận động và biến đổi của hàm số…“. Về nhà nghĩ lại thì thấy trả lời kiểu đó cũng như không trả lời, vậy nên tôi quyết định viết bài này. Nếu phải tóm tắt lại lịch sử phát triển hơn 200 năm của đạo hàm chỉ trong một câu thì tôi sẽ trích dẫn lời của tác giả Grabiner “Đạo hàm đầu tiên được sử dụng như công cụ, sau đó mới được phát minh, tiếp nữa là được mở rộng và phát triển, cuối cùng mới được định nghĩa.” Thế nghĩa là thế nào? Nghĩa là trước khi được phát minh ra, người ta đã biết cách sử dụng nó như một công cụ đầy hiệu quả. Để hiểu đầu cua tai nheo thì chúng ta phải quay trở về những năm 1630 để tìm hiểu một phương pháp tìm cực trị mới mẻ mà Fermat đã nghĩ ra Ông xét bài toán sau Cho trước một đoạn thẳng, hãy chia nó thành 2 phần sao cho tích của 2 phần này là lớn nhất Đáp án của bài toán này thì người ta đã biết từ trước tích lớn nhất khi ta chia đoạn thẳng thành 2 phần bằng nhau nhưng cách làm của Fermat thì lại rất mới. Gọi chiều dài đoạn ban đầu là B, chiều dài đoạn thứ nhất là A thì chiều dài đoạn thứ hai sẽ làB-A và tích của 2 phần là. Nhà toán học Hi Lạp Pappus ở Alexandria trong một tác phẩm của mình có đưa ra một nguyên lý “Một bài toán nào đó nói chung có 2 nghiệm thì nó sẽ đạt được giá trị cực đại hoặc cực tiểu trong trường hợp chỉ có một nghiệm”. Tôi sẽ dành một chút thời gian để minh họa nguyên lí này của Pappus bởi vì đây là một nguyên lí rất thú vị và có ích Xét bài toán đơn giản sau Từ điểm A nằm ngoài đường thẳng d cho trước, hãy xác định điểm N trên d sao cho độ dài đoạn AN là nhỏ nhất? Bây giờ chúng ta hãy giả vờ khờ khạo không biết điểm N cần tìm ở đâu, lúc này hãy giả sử chúng ta tìm được một điểm M nào đó nằm bên phải thỏa mãn yêu cầu đề bài tức là làm cho đoạn AM nhỏ nhất. Khi đó, nói chung luôn có một điểm M’ nằm bên trái để cho AM = AM’. Vì thế nếu như M là nghiệm của bài toán này thì M’ cũng phải là nghiệm và bài toán sẽ luôn có 2 nghiệm. Nguyên lý Pappus phát biểu rằng, giá trị cực tiểu sẽ đạt được trong trường hợp chỉ có một nghiệm, mà muốn vậy thì . Điều này chỉ xảy ra khi M chính là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống d và đây cũng chính là đáp án của bài toán này. Ví dụ này mặc dù khá tầm thường nhưng nguyên lí của Pappus thì lại rất hữu ích trong nhiều trường hợp tìm cực trị khác nhau. Nào bây giờ hãy trở lại với Fermat Ông giả sử rằng bài toán trên còn có thêm một đáp số thứ hai nữa tức là có một cách chia khác để tích hai đoạn lớn nhất, với đáp số thứ hai này chúng ta sẽ gọi đoạn thứ nhất là khi đó đoạn còn lại là . Tích của chúng lúc này bằng. Bởi vì giá trị lớn nhất phải là duy nhất cho nên hai đáp số trên đều phải cho ra tích giống nhau, nghĩa là. Rút gọn 2 vế cho E ta được Mặt khác theo nguyên ly Pappus thì 2 nghiệm này trong trường hợp đạt giá trị lớn nhất phải trở nên bằng nhau nên nói chung E không hề tồn tại. Thế là Fermat cho E = 0, từ đó ông thu được kết quả , mà đây cũng chính là đáp số của bài toán trên. Cách làm của Fermat có cái gì đó vừa độc đáo vừa kì quái, ông giả sử rằng bài toán có 2 nghiệm và chúng khác nhau một lượng E. Lúc đầu ông xem E khác 0 và rút gọn E ở hai vế, sau đó ông ta vận dụng nguyên lí Pappus và nói rằng muốn đạt được cực trị thì nói chung E không nên tồn tại và thế là cho E = 0 cuối cùng lại thu được đáp số chính xác. Nếu bạn thấy cách làm này thật quái lạ thì bạn cũng giống với đa số các nhà toán học thời kì đó. còn với thì hiện tại khi mà chúng ta đã học về đạo hàm tôi sẽ chỉ rõ để các bạn hiểu được rốt cuộc thì Fermat đã làm cái gì để giải được bài toán ở trên. Bài toán mà Fermat giải là xác định để hàm số lớn nhất, và việc Fermat xem sau đó rút gọn biểu thức cho rồi cho nếu nói theo ngôn ngữ ngày nay là ông đã sử dụng đặc trưng sau đây của hàm số tại điểm cực trị của nó Nếu bạn đã học lớp 12 thì chắc đã được nghe đến định lí Fermat về điều kiện cần để hàm số đạt cực trị rồi chứ. Vâng, chính nó đấy! Nhưng vào thời điểm này Fermat chưa biết đạo hàm là gì đâu, dù vậy có một sự kiện lý thú là Fermat đã ứng dụng phương pháp này vào các bài toán vật lí và thu được những kết quả rất phù hợp. Cụ thể ông đã áp dụng trong quang học Fermat phát biểu một nguyên lý về cách “hành xử” của ánh sáng nguyên lý tác dụng tối thiểu “Ánh sáng luôn đi theo con đường nhanh nhất”. Theo nguyên lý này và khảo sát đường đi của ánh sáng ngang qua bề mặt phân cách của hai môi trường trong suốt đồng tính ông đã tìm con đường nhanh nhất của ánh sáng bằng phương pháp mới ở trên , chính là con đường tuân theo định luật Snell về khúc xạ vốn đã tìm ra trước đó bằng thực nghiệm/ Nếu có thời gian bạn hãy đọc thêm bài viết “Tự nhiên là nhà toán học” của tôi để hiểu thêm nhé. Giai đoạn tiếp theo là thời điểm đạo hàm được phát minh. Đạo hàm ra đời lấy cảm hứng từ hai nguồn động lực chính. Động lực này đến từ nhu cầu phải giải quyết hai bài toán quan trong trong hai lĩnh vực khác nhau. Một đến từ hình học đó là bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong và một đến từ vật lí là bài toán xác định vận tốc tức thời của chất điểm. Cùng tìm hiểu nhé… Nếu các bạn đã học đạo hàm rồi thì sẽ thấy nó được định nghĩa như sau Đạo hàm của hàm tại được xác định bằng giới hạn Và nếu bạn đặt thì và đạo hàm được viết lại ở một dạng khác tương đương Trong một số sách giáo khoa người ta có thể dùng kí hiệu thay cho h Vấn đề là tại sao nó lại được định nghĩa như thế? Tôi sẽ trả lời các bạn bằng cách chỉ ra cách mà người ta tìm ra để xác định được tiếp tuyến của một đường cong. Xét đường cong có phương trình , đầu tiên chúng ta sẽ vẽ một đường thẳng cắt ngang đường cong này tại 2 điểm P và Q Chắc các bạn cũng biết là để viết phương trình một đường thẳng chúng ta cần xác định được hệ số góc của nó. Kiến thức lớp 7 nói rằng hệ số góc của đường thẳng là tan của góc tạo bởi đường thẳng đó với trục hoành Ox. Chẳng hạn, đối với đường thẳng PQ ở trên thì hệ số góc của nó sẽ là Bây giờ chẳng hạn ta muốn xác định tiếp tuyến của đường cong tại điểm P. Làm thế nào để đường thẳng PQ biến thành tiếp tuyến đây, các nhà toán học đã nghĩ ra một phương án thú vị Họ cho điểm Q tiến dần về điểm P, lúc đó thì rõ ràng đường thẳng PQ từ chỗ cắt đường cong tại 2 điểm P, Q nay sẽ chỉ còn cắt tại một điểm P và thế là “trở thành” tiếp tuyến còn gì . Mọi người có đồng ý là khi đồng nghĩa với việc không nào. Như vậy bằng cách cho trong công thức tính hệ số góc của đường PQ ở trên chúng ta sẽ thu được hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm. Ngặt nỗi, thời điểm đó người ta chưa phát minh ra lý thuyết về giới hạn sau này đó là công lao của Cauchy. Và thế là mọi người bèn bắt chước theo cách mà Fermat đã làm đầu tiên họ cứ xem h là khác 0 rồi tìm cách rút gọn nó đi ở tử và mẫu, sau đó rồi thì xem h bằng 0 rồi triệt tiêu nó đi… Cách giải quyết kì lạ này lại thu được những thành công đến không ngờ, người ta đã giải quyết được bài toán xác định tiếp tuyến “khó nhằn” trước đó. Thế nhưng rất nhiều người khác gào lên bất mãn, thế là thế quái nào, sao lúc đầu xem h là khác 0 để thoải mái rút gọn rồi sau đó lại cho nó bằng 0, vậy rút cuộc nó là cái loại gì? Những người phát minh ra phương pháp này gọi h là “vô cùng bé”, có người còn đặt cho nó một cái tên khá là ma quái “bóng ma của những đại lượng đã mất”. Câu hỏi này đã ám ảnh giới toán học rất lâu, mãi cho tới sau này khi Cauchy xây dựng hoàn chỉnh lý thuyết giới hạn thì bức màn bí ẩn mới được vén lên rõ ràng. Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến việc chúng ta cần làm là cho h tiến dần về 0 tiến dần về nghĩa là càng ngày càng gần 0 nhưng không bao giờ bằng 0 nhé và quan sát xem tỉ số đang tiến dần về giá trị nào. Cái giá trị mà tỉ số này đang “tiến về” chính là thứ chúng ta muốn tìm. Tất nhiên là để tìm giới hạn này cần những kĩ thuật phù hợp, và cách làm của Fermat ở một chừng mực nào đó có thể xem là “xài được”. Newton và Leibniz được lịch sử công nhận là độc lập với nhau phát minh ra giải tích và khái niệm đạo hàm nói riêng. Leibniz xuất phát từ việc giải quyết bài toán tiếp tuyến đã đưa ra khái niệm “vi phân” và xây dựng đạo hàm theo khái niệm này thật tiếc vì thời lượng bài viết không cho phép tôi nói chi tiết thêm về cách xây dựng của Leibniz. Trong khi đó Newton phát minh ra đạo hàm trong một hoàn cảnh rất đặc thù ông phát minh ra giải tích chỉ như sáng tạo ra công cụ thích hợp để phục vụ cho các tính toán trong một lý thuyết vĩ đại mà sau này đã đặt nền móng cho cơ học cổ điển Thuyết vạn vật hấp dẫn. Đạo hàm được Newton phát minh ra giúp ông giải quyết được bài toán xác định vận tốc, gia tốc chất điểm. Và ở đây ông đã cho đạo hàm một ý nghĩa tổng quát và mang trong mình một sức mạnh to lớn không thể tưởng tượng Đạo hàm cho chúng ta biết được tốc độ biến thiên tốc độ thay đổi của một hàm số. Các bạn có biết được điều này quan trọng thế nào không? Với đạo hàm, bất cứ ở đâu có sự thay đổi, ở đó chúng ta sẽ biết được nó thay đổi như thế nào liệu đại lượng đó đang tăng hay đang giảm hay đang không thay đổi, nếu là đang tăng vậy tăng nhanh hay tăng chậm… Vận tốc đặc trưng cho sự thay đổi của quãng đường đi được, gia tốc là đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc theo thời gian vậy thì có gì là khó hiểu không khi trong chương trình vật lí người ta nói với các bạn rằng vận tốc là đạo hàm của hàm quãng đường theo thời gian, còn gia tốc là đạo hàm của hàm vận tốc. Nhiều bạn chắc còn muốn hỏi thêm vì sao đạo hàm là có được ý nghĩa thú vị này? Thật ra thì không khó hiểu lắm đâu Chẳng hạn với một hàm số bất kì Khi có sự thay đổi xảy ra, cụ thể là tăng lên một lượng h tức là trở thành . Và hàm số sẽ thay đổi tương ứng từ thành . Tức là hàm số y đã thay đổi một lượng là tương ứng với khi biến x tăng một lượng là h. Như vậy tốc độ thay đổi của y theo x sẽ là tỉ số quen thuộc . Tất nhiên tỉ số này chỉ mới cho ta biết tốc độ thay đổi trung bình của hàm số khi biến x tăng từ mà thôi. Việc cho h tiến dần tới 0 sẽ giúp ta xác định được tốc độ biến thiên tức thời ngay tại thời điểm . Và đó cũng chính là đạo hàm! Thật là nhân văn phải không các bạn, mỗi khi gặp những trắc trở khó khăn biến động lớn lao trong cuộc đời làm chúng ta mất đi niềm tin vào cuộc sống. Nhiều người đã tìm được nguồn an ủi, hi vọng và sự tin tưởng vào “đạo”, vào những đức tin chúng ta tín ngưỡng riêng bản thân tôi rất có cảm tình với đạo phật. Cũng như vậy, mỗi khi nhà toán học phải đối diện với các hàm số đa dạng và phức tạp. Lo sợ trước sự biến thiên, thay đổi khó lường của chúng… họ tìm được niềm tin vững chắc bởi vì “đạo hàm” chưa bao giờ làm họ thất vọng. Còn với mọi người trong chúng ta, nếu bạn là nhà kinh tế và muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra những quyết định đầu tư chứng khoán đúng đắn. Nếu bạn là nhà hoạch định chiến lược và muốn có những thông tin liên quan đến tốc độ gia tăng dân số ở từng vùng miền. Nếu bạn là nhà hóa học và muốn xác định được tốc độ phản ứng hóa học nào đó, hay nhà vật lí muốn tính toán vận tốc, gia tốc của một chuyển động… Đạo hàm sẽ là thứ mà chúng ta cần, rất đơn giản đầu tiên bạn cần có hàm số mô tả đại lượng đang được quan tâm, và sau đó chỉ cần đạo hàm nó. Còn tính đạo hàm như thế nào thì Sgk đã chỉ dẫn rõ ràng và chi tiết. Để kết thúc câu chuyện tôi sẽ kể cho các bạn nghe về sự thật đằng sau việc công bố công trình vĩ đại của Newton Newton có một thói quen kì lạ, ông không thích công bố những công trình phát minh của mình mặc dù ông biết rõ sự lớn lao của nó. Một hôm nhà thiên văn học Edmund Halley đến thăm Newton lúc bấy giờ là viện sĩ nổi tiếng của viện hàn lâm khoa học hoàng gia Anh để khoe với ông về một công trình tâm đắc của mình. Cụ thể là sau một thời gian miệt mài quan sát thiên văn Halley đã phát hiện ra được một sao chổi rất đặc biệt và thậm chí còn dự đoán được chu kì quỹ đạo của nó, ông tính được rằng 75 năm sau nó sẽ xuất hiện thêm lần nữa. Trái với sự chờ mong của Halley, Newton không thốt lên những lời trầm trồ khen ngợi, thay vào đó ông tạt cho Halley một gáo nước lạnh ngắt Newton nói mấy cái phát hiện linh tinh này ông đã tìm ra từ mấy năm trước. Harley vô cùng căm phẫn, cho rằng Newton muốn nuốt trôi công trình của mình nên ông quyết định sẽ “ăn thua đủ” nếu Newton không giải thích rõ ràng chuyện này. Hết cách Newton đành phải tiết lộ cho Halley biết những phát minh của mình đã giúp ông tính toán được rất nhiều các quỹ đạo của những thiên thể khác nhau. Halley đòi xem chúng, Newton dẫn ông ta đến một thùng đựng đầy giấy lộn nhưng đã không tìm thấy mấy tờ giấy có ghi lại tính toán về quỹ đạo sao chổi Halley. Có lẽ mấy tờ giấy đó đã cuốn theo những dòng nước vội vã sau một cơn đau bụng bất ngờ của Newton chăng? Newton đành phải giải thích rõ ràng, nào là ông ta đã phát minh ra vạn vật tương tác hút nhau như thế nào, rồi thì phát minh ra giải tích giúp ông ta tính toán quỹ đạo ra sao. Biết lực tương tác sẽ xác định được gia tốc định luật 2 newton, có gia tốc thì làm phép toán ngược với đạo hàm nguyên hàm – tích phân sẽ giúp ông tìm được vận tốc. Có vận tốc lại tìm được hàm quãng đường từ đó mà biết quỹ đạo… Quá kinh ngạc với phát minh vĩ đại này nên Halley đã tìm mọi biện pháp từ dụ dỗ tới cứng rắn buộc Newton phải công bố. Newton đã dành 2 năm để viết là công trình này và xuất bản trong cuốn sách nổi tiếng “Những nguyên lý toán học của triết học tự nhiên” cái tên thấy không liên quan gì. Nghe đồn rằng Newton cố tình viết thật khó hiểu đến nổi không có tới 10 người thời điểm đó đọc hiểu được cuốn sách trên. Việc công bố công trình của mình một cách trể nãi đã khiến giới khoa học rơi vào một cuộc tranh luận đáng tiếc. Về thực chất, Newton phát minh ra đạo hàm trước nhưng ông lại công bố sau Leibniz. Mặc dù hai nhà toán học này độc lập với nhau xây dựng nên cơ sở của giải tích, tuy nhiên những người bạn của họ lại cho rằng người này ăn cắp ý tưởng của người kia và thế là có một cuộc cãi vã đầy xấu hổ trong lịch sử toán học… Hình như bài viết đã quá dài rồi phải không? Tôi không chắc có nhiều độc giả đủ kiên nhẫn đọc đến khi tôi viết những dòng cuối cùng này. Dù sao nếu quả thật có ai đó như vậy, tôi thành thật gửi lời cảm ơn vì các bạn đã dành nhiều thời gian cho những chia sẻ của tôi. Chúc mọi người học toán thật thú vị và vui vẻ 🙂 Tải về bản PDF Tải về bản PDF Vận tốc được định nghĩa là tốc độ của một vật theo một hướng xác định.[1] Trong nhiều trường hợp, để tìm vận tốc chúng ta sẽ dùng phương trình v = s/t, trong đó v là vận tốc, s là tổng quãng đường dịch chuyển của vật từ vị trí ban đầu, và t là thời gian để vật đi hết quãng đường đó. Tuy nhiên, về lý thuyết công thức này chỉ cho vận tốc trung bình của vật trên quãng đường. Bằng các phép tính chúng ta có thể tính được vận tốc của vật tại thời điểm bất kì trên quãng đường. Đó là vận tốc tức thời và được định nghĩa bởi phương trình v = ds/dt, hoặc nói cách khác, đó là đạo hàm của phương trình tính vận tốc trung bình.[2] 1 Bắt đầu với phương trình tính vận tốc theo khoảng cách dịch chuyển. Để tìm vận tốc tức thời, trước tiên chúng ta phải có phương trình cho biết vị trí của vật theo khoảng cách dịch chuyển tại một thời điểm bất kì. Nghĩa là phương trình phải có duy nhất một biến s ở một vế và biến t ở vế còn lại không nhất thiết chỉ có duy nhất một biến, giống như saus = + 10t + 4 Trong phương trình này, các biến số là s = khoảng cách dịch chuyển. Khoảng cách vật chuyển động từ vị trí ban đầu. Ví dụ, nếu một vật đi được 10 mét về phía trước và 7 mét về phía sau, tổng khoảng cách dịch chuyển của nó là 10 - 7 = 3 mét không phải 10 + 7 = 17m. t = thời gian. Biến này đơn giản không cần giải thích, thường được tính bằng giây. 2 Lấy đạo hàm của phương trình. Đạo hàm của phương trình là một phương trình khác cho biết độ dốc của quãng đường tại thời điểm cụ thể. Để tìm đạo hàm của phương trình theo khoảng cách dịch chuyển, lấy vi phân của hàm số theo nguyên tắc chung sau để tính đạo hàm Nếu y = a*xn, Đạo hàm = a*n*xn-1. Nguyên tắc này áp dụng cho mọi số hạng ở phía "t" của phương trình. Nói một cách khác, bắt đầu lấy vi phân từ trái qua phải ở phía "t" của phương trình. Mỗi khi gặp biến "t", bạn trừ số mũ cho 1 và nhân toàn số hạng cho số mũ ban đầu. Bất kì số hạng hằng số nào các số hạng không có "t" sẽ biến mất vì chúng được nhân cho 0. Quá trình này thật ra không khó như bạn nghĩ - hãy lấy phương trình trong bước trên làm ví dụs = + 10t + 42 + 110t1 - 1 + 04t0-3t1 + 10t0-3t + 10 3 Thay "s" bằng "ds/dt". Để thể hiện phương trình mới là đạo hàm của phương bình ban đầu, chúng ta thay "s" bằng ký hiệu "ds/dt". Về lý thuyết, ký hiệu này là "đạo hàm của s theo t". Một cách đơn giản hơn để hiểu ký hiệu này, ds/dt chính là độ dốc của một điểm bất kì trong phương trình ban đầu. Ví dụ, để tìm độ dốc của quãng đường được mô tả bởi phương trình s = + 10t + 4 tại thời điểm t = 5, chúng ta thay "5" vào t trong đạo hàm của phương trình. Trong ví dụ trên, đạo hàm của phương trình sẽ như sauds/dt = -3t + 10 4 Thay một giá trị t vào phương trình mới để tìm vận tốc tức thời. Bây giờ chúng ta đã có phương trình đạo hàm, việc tìm vận tốc tức thời tại một thời điểm bất kì rất dễ. Tất cả những gì bạn cần làm là chọn một giá trị t và thay vào phương trình đạo hàm. Ví dụ, nếu muốn tìm vận tốc tức thời tại t = 5, chúng ta chỉ cần thay "5" vào t trong phương trình đạo hàm ds/dt = -3t + 10. Chúng ta sẽ giải phương trình như sauds/dt = -3t + 10ds/dt = -35 + 10ds/dt = -15 + 10 = -5 mét/giây Lưu ý là chúng ta sử dụng đơn vị "mét/giây" nói trên. Vì chúng ta đang giải bài toán với khoảng cách dịch chuyển theo mét và thời gian theo giây, mà vận tốc chính là khoảng cách dịch chuyển theo thời gian nên đơn vị này là phù hợp. Quảng cáo 1 Vẽ đồ thị quãng đường chuyển động của vật theo thời gian. Trong phần trên, chúng ta nói rằng đạo hàm cũng là một công thức mà cho chúng ta tìm độ dốc tại bất kì điểm nào của phương trình được lấy đạo hàm. Thật ra, nếu bạn biểu diễn quãng đường chuyển động của vật trên đồ thị, độ dốc của đồ thị tại một điểm bất kì chính là vận tốc tức thời của vật tại điểm đó. Để vẽ đồ thị quãng đường chuyển động, bạn sử dụng trục x làm thời gian và trục y làm khoảng cách dịch chuyển. Sau đó bạn xác định một số điểm bằng cách thay các giá trị của t vào phương trình chuyển động, kết quả nhận được là các giá trị s, và bạn chấm các điểm t,s x,y trên đồ thị. Lưu ý là đồ thị có thể mở rộng xuống dưới trục x. Nếu đường biểu diễn chuyển động của vật đi xuống dưới trục x, điều này có nghĩa vật đó di chuyển thụt lùi so với vị trí ban đầu. Nói chung, đồ thị sẽ không mở rộng về phía sau trục y - chúng ta thường không đo vận tốc của vật thể di chuyển lùi theo thời gian! 2 Chọn một điểm P và một điểm Q nằm gần điểm P trên đồ thị. Để tìm độ dốc của đồ thị tại điểm P, chúng ta sử dụng kỹ thuật "tìm giới hạn". Tìm giới hạn nghĩa là lấy hai điểm P và Q một điểm nằm gần P trên đường cong và tìm độ dốc của đường nối hai điểm đó, lặp đi lặp lại quá trình này khi khoảng cách giữa P và Q thu ngắn dần. Giả sử quãng đường dịch chuyển có các điểm 1;3 và 4;7. Trong trường hợp này, nếu chúng ta muốn tìm độ dốc tại 1;3 thì có thể đặt 1;3 = P và 4;7 = Q. 3 Tìm độ dốc giữa P và Q. Độ dốc giữa P và Q là độ chênh lệch của các giá trị y cho P và Q trên độ chênh lệch của các giá trị x cho P và Q. Nói một cách khác, H = yQ - yP/xQ - xP, trong đó H là độ dốc giữa hai điểm. Trong ví dụ này, độ dốc giữa P và Q làH = yQ - yP/xQ - xPH = 7 - 3/4 - 1H = 4/3 = 1,33 4 Lặp lại nhiều lần bằng cách di chuyển Q đến gần P hơn. Mục tiêu là làm cho khoảng cách giữa P và Q nhỏ dần đến khi chúng tiến sát thành một điểm duy nhất. Khoảng cách giữa P và Q càng nhỏ thì độ dốc của đoạn thẳng vô cùng nhỏ đó sẽ càng tiến gần đến độ dốc tại điểm P. Lặp lại vài lần cho phương trình ví dụ của chúng ta, sử dụng các điểm 2;4,8, 1,5;3,95 và 1,25;3,49 cho Q và tọa độ ban đầu của P là 1;3Q = 2;4,8 H = 4,8 - 3/2 - 1H = 1,8/1 = 1,8Q = 1,5;3,95 H = 3,95 - 3/1,5 - 1H = 0,95/0,5 = 1,9Q = 1,25;3,49 H = 3,49 - 3/1,25 - 1H = 0,49/0,25 = 1,96 5 Ước lượng độ dốc của đoạn thẳng vô cùng nhỏ trên đường cong đồ thị. Khi Q tiến ngày càng gần hơn đến P, H sẽ dần dần tiến gần hơn đến độ dốc tại P. Cuối cùng, tại một đoạn thẳng vô cùng nhỏ, H sẽ là độ dốc tại P. Vì chúng ta không thể đo hay tính chiều dài một đoạn thẳng vô cùng nhỏ, nên chỉ ước lượng độ dốc tại P khi giá trị đó lộ ra rõ từ những điểm chúng ta tính. Trong ví dụ trên, khi dịch chuyển H tiến gần hơn đến P, chúng ta có các giá trị của H là 1,8; 1,9 và 1,96. Vì những số này đang tiến gần đến 2 nên chúng ta có thể nói 2 là giá trị gần đúng của độ dốc tại P. Nhớ rằng độ dốc tại một điểm bất kì trên đồ thị là đạo hàm của phương trình đồ thị tại điểm đó. Vì đồ thị biểu diễn khoảng cách dịch chuyển của vật theo thời gian, như chúng ta thấy trong phần trên, nên vận tốc tức thời của nó tại một điểm bất kì chính là đạo hàm của khoảng cách dịch chuyển của vật đó tại điểm đề cập, chúng ta có thể nói 2 mét/giây là giá trị ước lượng gần đúng của vận tốc tức thời khi t = 1. Quảng cáo 1 Tìm vận tốc tức thời khi t = 1 với phương trình quãng đường dịch chuyển là s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9. Giống ví dụ trong phần đầu nhưng đây là phương trình bậc 3 thay vì bậc 2, vì vậy chúng ta có thể giải bài toán theo cách tương tự. Đầu tiên, lấy đạo hàm của phương trìnhs = 5t3 - 3t2 + 2t + 9s = 35t3 - 1 - 23t2 - 1 + 12t1 - 1 + 09t0 - 115t2 - 6t1 + 2t015t2 - 6t + 2 Sau đó chúng ta thay giá trị của t 4 vàos = 15t2 - 6t + 21542 - 64 + 21516 - 64 + 2240 - 24 + 2 = 22 mét/giây 2 Sử dụng phương pháp ước lượng bằng đồ thị để tìm vận tốc tức thời tại 1;3 cho phương trình quãng đường dịch chuyển s = 4t2 - t. Đối với bài toán này, chúng ta dùng tọa độ 1;3 làm điểm P, nhưng phải tìm các điểm Q khác nằm gần nó. Sau đó, tất cả những gì chúng ta cần làm là tìm các giá trị H và suy ra giá trị ước lượng. Đầu tiên, chúng ta tìm các điểm Q khi t = 2; 1,5; 1,1 và 1, = 4t2 - tt = 2 s = 422 - 244 - 2 = 16 - 2 = 14, do đó Q = 2;14t = 1,5 s = 41,52 - 1,542,25 – 1,5 = 9 – 1,5 = 7,5, do đó Q = 1,5;7,5t = 1,1 s = 41,12 - 1,141,21 – 1,1 = 4,84 – 1,1 = 3,74, do đó Q = 1,1;3,74t = 1,01 s = 41,012 - 1,0141,0201 – 1,01 = 4,0804 – 1,01 = 3,0704, do đó Q = 1,01;3,0704 Tiếp theo chúng ta sẽ nhận được các giá trị HQ = 2;14 H = 14 - 3/2 - 1H = 11/1 = 11Q = 1,5;7,5 H = 7,5 - 3/1,5 - 1H = 4,5/0,5 = 9Q = 1,1;3,74 H = 3,74 - 3/1,1 - 1H = 0,74/0,1 = 7,3Q = 1,01;3,0704 H = 3,0704 - 3/1,01 - 1H = 0,0704/0,01 = 7,04 Vì các giá trị H dường như tiến gần đến 7, chúng ta có thể nói rằng 7 mét/giây là giá trị ước lượng gần đúng của vận tốc tức thời tại tọa độ 1;3. Quảng cáo Lời khuyên Để tìm gia tốc sự thay đổi vận tốc theo thời gian, sử dụng phương pháp trong phần một để lấy đạo hàm của phương trình quãng đường dịch chuyển. Sau đó lấy đạo hàm một lần nữa cho phương trình đạo hàm vừa tìm được. Kết quả là bạn có phương trình tìm gia tốc tại một thời điểm xác định - tất cả những gì bạn phải làm là thay giá trị thời gian vào. Phương trình thể hiện mối tương quan giữa Y khoảng cách dịch chuyển với X thời gian có thể rất đơn giản, như Y = 6x + 3. Trong trường hợp này, độ dốc là hằng số và không cần thiết phải lấy đạo hàm để tính độ dốc, nghĩa là nó tuân theo dạng phương trình cơ bản Y = mx + b cho đồ thị đường thẳng tuyến tính, tức độ dốc bằng 6. Quãng đường dịch chuyển cũng giống khoảng cách nhưng có hướng, do đó nó là một đại lượng vectơ, và tốc độ là đại lượng vô hướng. Quãng đường dịch chuyển có thể mang giá trị âm, trong khi khoảng cách chỉ mang giá trị dương. Tham khảo Về bài wikiHow này Trang này đã được đọc lần. Bài viết này đã giúp ích cho bạn? Với bài toán chuyển động giả sử vận tốc tức thời của vật là $vleft t right$ thì $vleft t right=s’left t right$Có thể bạn quan tâm 7 có nên trang điểm bằng cách lạm dụng kem phấn hot nhất 4 anime tình cảm học đường tốt nhất 4 phát xít nhật vào đông dương khi nào hay nhất 6 quần màu xanh dương kết hợp với áo màu gì hot nhất, đừng bỏ lỡ 7 định luật murphy hot nhất Gia tốc tức thời của vật $aleft t right=v’left t right=s”left t right$Bạn Đang Xem Tại sao đạo hàm của quãng đường là vận tốc Do đó quãng đường vật đi được từ thời điểm ${{t}_{1}}$ đến ${{t}_{2}}$ là $S=intlimits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{vleft t rightdt.}$ Vận tốc tức thời của vật $vleft t right=int{aleft t rightdt}$ Ví dụ 1 Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $vleft t right=-4t+20$ m/s trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét? A. 25 m. B. 50 m. C. 10 m. D. 30 m. Lời giải Khi vật dừng hẳn thì $v=0Rightarrow -4t+20=0Leftrightarrow t=5left s right.$ Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên là $Sleft t right=intlimits_{0}^{5}{vleft t rightdt=intlimits_{0}^{5}{left -4t+20 rightdt=50}}$m. Chọn A. Ví dụ 2 Một ô tô xuất phát với vận tốc ${{v}_{1}}left t right=2t+12,,left m/s right,$ sau khi đi được khoảng thời gian ${{t}_{1}}$ thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc ${{v}_{2}}left t right=24-6tleft m/s right,$ và đi thêm một khoảng thời gian ${{t}_{2}}$ nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì xe ô tô đã đi được bao nhiêu mét ? A. $12text{ }m.$ B. $156text{ }m.$ C. $108text{ }m.$ D. $48text{ }m.$ Lời giải Ta có ${{v}_{02}}=24,,left m/s right$ do đó khi gặp chướng ngại vật vật có vận tốc là $24,,m/s$ Khi đó ${{v}_{1}}left t right=2t+12=24Leftrightarrow t=6,,left s right$ Vật dừng lại khi ${{v}_{2}}left t right=24-6t=0Leftrightarrow {{t}_{2}}=4,,left s right$ Quãng đường vật đi được là $s=intlimits_{0}^{6}{{{v}_{1}}left t rightdt}+intlimits_{0}^{4}{{{v}_{2}}left t rightdt=intlimits_{0}^{6}{left 2t+12 rightdt}+intlimits_{0}^{4}{left 24-6t rightdt}}=156text{ }m.$ Chọn B. Ví dụ 3 Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc ${{v}_{0}}=16,,left m/s right$ thì tăng tốc với gia tốc $aleft t right={{t}^{2}}+3t,,left m/{{s}^{2}} right.$ Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian $4s$ kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. A. $frac{160}{3},,left m right.$ B. $frac{352}{3},,left m right.$ C. $frac{400}{3},,left m right.$ D. $frac{250}{3},,left m right.$ Lời giải Ta có $vleft t right=int{aleft t rightdt=int{left {{t}^{2}}+3t rightdt=frac{{{t}^{3}}}{3}}+frac{3{{t}^{2}}}{2}}+C$ Khi đó ${{v}_{0}}=vleft 0 right=C=16Rightarrow vleft t right=frac{{{t}^{3}}}{3}+frac{3{{t}^{2}}}{2}+16$ Khi đó quãng đường đi được bằng $sleft t right=intlimits_{0}^{4}{vleft t rightdt=intlimits_{0}^{4}{left frac{{{t}^{3}}}{3}+frac{3{{t}^{2}}}{2}+16 rightdt}}$ $left. left frac{{{t}^{4}}}{12}+frac{{{t}^{3}}}{2}+16t right right_{0}^{4}=frac{352}{3},,left m right.$ Chọn B. Ví dụ 4 Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ${{v}_{1}}left t right=2t,,left m/s right.$ Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a=-12,,left m/{{s}^{2}} right.$ Tính quãng đường $sleft m right$ đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn A. $s=168,,m.$ B. $s=166,,m.$ C. $s=144,,m.$ D. $s=152,,m.$ Lời giải Xem Thêm Tham vọng lớn nhất của mỹ khi triển khai chiến lược toàn cầu sau Chiến tranh thế giới thứ hai làQuãng đường xe đi được trong 12 s đầu là ${{s}_{1}}=intlimits_{0}^{12}{2tdt=144text{ }m.}$ Sau khi đi được 12 s vật đạt vận tốc $v=24,,m/s,$ sau đó vận tốc của vật có phương trình $v=24-12t$ Vật dừng hẳn sau $2text{ }s$ kể từ khi phanh. Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là ${{s}_{2}}=intlimits_{0}^{2}{left 24-12t rightdt=24text{ }m.}$ Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là $s={{s}_{1}}+{{s}_{2}}=144+24=168text{ }m.$ Chọn A. Ví dụ 5 Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang chiều dương hướng sang phải với gia tốc phụ thuộc thời gian $tleft s right$ là $aleft t right=2t-7,left m/{{s}^{2}} right.$ Biết vận tốc ban đầu bằng $10,,left m/s right,$ hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải? A. $5,,left s right.$ B. $6,,left s right.$ C. $1,,left s right.$ D. $2,,left s right.$ Lời giải Vận tốc của vật được tính theo công thức $vleft t right=10+{{t}^{2}}-7t,,left m/s right.$ Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức $Sleft t right=int{vleft t rightdt=frac{{{t}^{3}}}{3}-frac{7}{2}{{t}^{2}}+10t,,left m right.}$ Ta có ${S}’left t right={{t}^{2}}-7t+10Rightarrow {S}’left t right=0Leftrightarrow {{t}^{2}}-7t+10=0Leftrightarrow left[ begin{align} & t=2 \ & t=5 \ end{align} right..$ Suy ra $left{ begin{align} & Sleft 0 right=0 \ & Sleft 2 right=frac{26}{6} \ & Sleft 5 right=frac{25}{6} \ & Sleft 6 right=6 \ end{align} underset{left[ 0;6 right]}{mathop{Max}},Sleft t right=Sleft 2 right=frac{26}{3}.$ Chọn D. Ví dụ 6 [Đề thi thử Chuyên Đại học Vinh 2017] Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 mét so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật $vleft t right=10t-{{t}^{2}},$ trong đó $t$ phút là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, $vleft t right$ được tính theo đơn vị mét/phút m/p. Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc $v$ của khí cầu là A. $v=7,,left m/p right.$ B. $v=9,,left m/p right.$ C. $v=5,,left m/p right.$ D. $v=3,,left m/p right.$ Lời giải Khi bắt đầu tiếp đất vật chuyển động được quãng đường là $s=162,,m$ Ta có $S=intlimits_{0}^{{{t}_{0}}}{left 10t-{{t}^{2}} rightdt=left. left 5t-frac{{{t}^{3}}}{3} right right_{0}^{{{t}_{0}}}=5t_{0}^{2}-frac{t_{0}^{3}}{3}}$ trong đó ${{t}_{0}}$ là thời điểm vật tiếp đất Cho $5t_{0}^{2}-frac{t_{0}^{3}}{3}=162Rightarrow {{t}_{0}}=9$ Do $vleft t right=10t-{{t}^{2}}Rightarrow 0le tle 10$ Khi đó vận tốc của vật là $vleft 9 right= }left m/p right.$ Chọn B. Ví dụ 7 [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O,$ chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $vleft t right=frac{1}{100}{{t}^{2}}+frac{13}{30}t,,left m/s right,$ trong đó $t$ giây là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O,$ chuyển động thẳng cùng hướng với $A$ nhưng chậm hơn 10 giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a,,left m/{{s}^{2}} right$ $a$ là hằng số. Sau khi $B$ xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp $A.$ Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng A. $25,,left m/s right.$ B. $15,,left m/s right.$ C. $9,,left m/s right.$ D. $42,,left m/s right.$ Lời giải Quãng đường chất điểm A đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là $S=intlimits_{0}^{25}{left frac{1}{100}{{t}^{2}}+frac{13}{30}t rightdt=frac{375}{2},,m.}$ Vận tốc của chất điểm B tại thời điểm $tleft s right$ tính từ lúc B xuất phát là ${{v}_{B}}left t right=at.$ Quãng đường chất điểm B đi được cho đến khi 2 chất điểm gặp nhau là [S=intlimits_{0}^{10}{atdt}=left. frac{a{{t}^{2}}}{2} right_{0}^{10}=frac{225}{2}aleft m right.] Suy ra $frac{225}{2}a=frac{375}{2}Leftrightarrow a=frac{5}{3}$ Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là ${{v}_{B}}left 15 right=15a=25,,left m/s right.$ Chọn A. Xem Thêm 6 nhẫn kim tiền 18k giá bao nhiều hot nhất, bạn nên biếtVí dụ 8 [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O,$ chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $vleft t right=frac{1}{180}{{t}^{2}}+frac{11}{18}t$ m/s, trong đó $t$ giây là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O,$ chuyển động thẳng cùng hướng với $A$, nhưng chậm hơn 5 giây so với $A$ và có gia tốc bằng $aleft m/{{s}^{2}} right$ $a$ là hằng số. Sau khi $B$ xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp $A.$ Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng A. $22$m/s. B. 15 m/s. C. 10 m/s. D. 7 m/s. Lời giải Quãng đường chất điểm A đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là $S=intlimits_{0}^{15}{left frac{1}{180}{{t}^{2}}+frac{11}{8}t rightdt=75,,m.}$ Vận tốc của chất điểm B tại thời điểm $tleft s right$ tính từ lúc B xuất phát là ${{v}_{B}}left t right=at.$ Quãng đường chất điểm B đi được cho đến khi 2 chất điểm gặp nhau là [S=intlimits_{0}^{10}{atdt}=left. frac{a{{t}^{2}}}{2} right_{0}^{10}=50a,,left m right.] Suy ra $50a=75Leftrightarrow a=1,5$ Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là ${{v}_{B}}left 10 right=10a=15,,left m/s right.$ Chọn B. Ví dụ 9 Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc $vleft km/h right$ phụ thuộc thời gian $tleft h right$ có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh $Ileft 2;9 right$ với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường $s$ mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó? A. $s=27,,left km right.$ B. $s=24,,left km right.$ C. $s=28,5,,left km right.$ D. $s=26,5,,left km right.$ Lời giải Dựa vào đồ thị ta tính được phương trình vận tốc của vật Từ 0 đến 3 giây ${{v}_{1}}left t right=-frac{9}{4}{{t}^{2}}+9t,,left km/h right.$ Từ 3 giây trở đi ${{v}_{2}}left t right=frac{27}{4},,left km/h right.$ Suy ra quãng đường vật đi được trong 4 giây sẽ bằng $s=intlimits_{0}^{3}{left -frac{9}{4}{{t}^{2}}+9t rightdt}+intlimits_{3}^{4}{frac{27}{4}dt=27,,left km right.}$ Chọn A. Ví dụ 10 [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc $vleft km/h right$ phụ thuộc thời gian $tleft h right$ có đồ thị là một phần của đường parabol với đỉnh $Ileft frac{1}{2};8 right$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường $s$ người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy. A. $s=4,0,,left km right.$ B. $s=2,3,,left km right.$ C. $s=4,5,,left km right.$ D. $s=5,3,,left km right.$ Lời giải Dựa vào đồ thị ta tính được PT vận tốc là $vleft t right=a{{left x-frac{1}{2} right}^{2}}+8$ Do parabol $left P right$ qua điểm $left 1;0 rightRightarrow a=-32Rightarrow vleft t right=-32{{t}^{2}}+32t,,left km/h right.$ Suy ra quãng đường đi được trong 45 phút bằng $0,75,,left h right$ là $S=intlimits_{0}^{0,75}{left -32{{t}^{2}}+32t rightdt=4,5,,left km right.}$ Chọn C. Tài liệu gồm 173 trang tuyển tập các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao chuyên đề đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm biến thiên của hàm số Dạng 1. Xác định được khoảng đơn điệu của hàm số y = fx dựa vào bảng biến thiên. Dạng 2. Xác định được khoảng đơn điệu của hàm số y = fx dựa vào đồ thị y = f'x, y = hx – gx. Dạng 3. Cho biểu thức y = f'x,m, tìm m để hàm số f[ux] đồng biến, nghịch biến. Dạng 4. Xác định giá trị tham số m để hàm số đơn điệu trên R; trên các khoảng khác R. Dạng 5. Xác định giá trị tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu thỏa mãn những điều kiện cụ thể. Dạng 6. Ứng dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức và giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình. Cực trị hàm số Dạng 1. Tìm m để hàm số bậc 3 có hai điểm cực trị thoả mãn tính chất P. Dạng 2. Tìm m để hàm số bậc 4 có 3 điểm cực trị lập thành tam giác thoả mãn tính chất P. Dạng 3. Tìm số điểm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn dựa vào bảng biến thiên hàm số y = fx, bảng xét dấu y = f'x. Dạng 4. Tìm số điểm cực trị dựa vào đồ thị hàm số y = fx, y = f'x. Dạng 5. Tìm m để hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có k cực trị hoặc có tối đa k cực trị Dạng 6. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm x0. GTLN – GTNN của hàm số Dạng 1. Bài toán xác định số tiệm cận của đồ thị hàm số cụ thể không chứa tham số. Dạng 2. Bài toán xác định tiệm cận của đồ thị hàm số có bảng bảng biến thiên cho trước. Dạng 3. Cho bảng biến thiên của hàm số fx, xác định tiệm cận của đồ thị hàm hợp của fx. Dạng 4. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có số tiệm cận cho trước. Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a, y = b làm tiệm cận. Dạng 6. Bài toán tiệm cận và diện tích, khoảng cách và bài toán tổng hợp. [ads] Đồ thị hàm số Dạng 1. Các bài toán đồ thị liên quan đến khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Dạng 2. Các bài toán đồ thị liên quan đến cực trị của hàm số. Dạng 3. Đồ thị liên quan tới đạo hàm cấp 1, cấp 2. Dạng 4. Các bài toán GTLN – GTNN khi biết đồ thị, đồ thị đạo hàm và bảng biến thiên. Dạng 5. Các bài toán giải bằng cách sử dụng. Dạng 6. Các bài toán liên quan đến tương giao, tịnh tiến. Tiếp tuyến và tiếp xúc Dạng 1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm. Dạng 2. Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc. Dạng 3. Tiếp tuyến đi qua điểm cho trước. Dạng 4. Tiếp tuyến chung của hai đường cong. Dạng 5. Bài toán tiếp xúc của hai đồ thị. Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số Dạng 1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong. Dạng 2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên. Dạng 3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng. Dạng 4. Bài toán tìm điểm đặc biệt liên quan đến hàm số y = ax + b/cx + d có đồ thị C. Dạng 5. Bài toán tìm điểm đặc biệt khác. Ứng dụng đạo hàm để giải toán thực tế Dạng 1. Bài toán về quãng đường. Dạng 2. Bài toán diện tích hình phẳng. Dạng 3. Bài toán liên hệ diện tích, thể tích. Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Hàm SốGhi chú Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên bằng cách gửi về Facebook TOÁN MATH Email [email protected]

đạo hàm của quãng đường